Le critère de Kelly

La mise fixe est simple, mais elle ignore une information précieuse : certains paris ont plus de valeur que d'autres. Le critère de Kelly (John L. Kelly Jr., 1956) indique quelle fraction de ta bankroll miser pour maximiser la croissance à long terme de ton capital.

La formule

$f^*$ est la fraction de ta bankroll actuelle à miser. Si $f^* \le 0$, on ne mise pas.

L'intuition

Kelly maximise la croissance logarithmique du capital, c'est-à-dire le taux de croissance moyen composé. Il a deux propriétés remarquables :

• Sur le long terme, il fait croître la bankroll plus vite que toute autre stratégie de mise proportionnelle.
• Comme il mise une fraction de la bankroll actuelle, il ne mène jamais à la ruine totale en théorie : quand tu perds, tes mises diminuent automatiquement.

Pourquoi le Kelly plein est dangereux

En pratique, presque personne ne mise le Kelly plein :

1. Volatilité extrême. Avec le Kelly plein, il y a 50 % de chances de voir ta bankroll divisée par deux à un moment donné, et environ 10 % de chances qu'elle tombe à un dixième de son niveau de départ.
2. Ton $p$ est une estimation. Si tu surestimes ta probabilité, tu mises trop. Et miser deux fois Kelly ramène la croissance attendue à presque zéro ; au-delà, elle devient négative.
3. Asymétrie. Miser un peu moins que Kelly coûte peu ; miser un peu plus coûte cher.

La solution : le Kelly fractionnel

On mise une fraction de $f^*$, typiquement ¼ ou ½ Kelly.

Le ½ Kelly conserve environ les trois quarts de la croissance avec deux fois moins de volatilité. C'est un excellent compromis.