Kelly pour des paris simultanés

La formule de Kelly classique suppose que tu places un pari à la fois, et que tu connais son résultat avant de placer le suivant. En réalité, un value bettor a souvent plusieurs paris ouverts en même temps : dix matchs le samedi après-midi, plusieurs marchés sur un même match… Dans ce cas, la formule simple ne s'applique plus directement.

Cas 1 : paris indépendants simultanés

Si les paris sont indépendants (matchs différents), il faut maximiser la croissance attendue sur toutes les combinaisons de résultats possibles :

\max_{f_1, \dots, f_n} \; \mathbb{E}\Big[\ln\Big(1 + \sum_i f_i \, R_i\Big)\Big]

où $R_i$ vaut $(\text{cote}_i - 1)$ si le pari $i$ gagne et $-1$ s'il perd.

Exemple

Fil rouge — Équipe A vs Équipe B, joué en même temps que $n-1$ autres paris identiques ( $p$ = 45 %, cote 2,50, Kelly isolé = 8,3 %).


Nombre de paris simultanés	Mise optimale par pari	Exposition totale
1	8,3 %	8,3 %
2	8,3 %	16,5 %
5	8,0 %	40 %
10	7,6 %	76 %

La mise optimale par pari diminue à mesure que les paris s'accumulent, et l'exposition totale atteint des niveaux qui devraient t'alarmer… même avec un Kelly « exact ».

Pour de petites EV et un nombre modéré de paris, additionner les Kelly individuels reste une approximation acceptable. Mais l'erreur grandit vite avec l'EV et le nombre de paris.

Cas 2 : paris mutuellement exclusifs (même match)

Parier sur deux issues du même match (par exemple victoire A et nul) : un seul des deux peut gagner. Les paris se couvrent partiellement, et l'optimum se calcule sur les $N$ issues du match. Il peut être optimal de miser sur une issue à valeur légèrement positive uniquement parce que tu mises déjà sur une autre.

Cas 3 : paris corrélés

Le plus dangereux. Exemples :

Victoire de A et plus de 2,5 buts dans le même match.
Victoire de A et A champion à la fin de la saison.
Plusieurs paris qui reposent sur la même erreur de modèle (par exemple une mauvaise évaluation de la forme d'une équipe).

Les paris corrélés gagnent et perdent ensemble. Les traiter comme indépendants revient à sous-estimer le risque et à miser beaucoup trop.

En pratique

Pour des paris indépendants et des EV modestes : Kelly fractionnel individuel + plafond d'exposition totale (par exemple 20 à 30 % de la bankroll).
Pour des paris sur le même match : soit tu n'en prends qu'un (le plus +EV), soit tu optimises numériquement sur les issues.
Pour des paris corrélés : réduis fortement les mises, ou modélise la corrélation (simulation Monte Carlo des résultats conjoints + optimisation numérique).