Le Kelly robuste

Le critère de Kelly est optimal si tu connais la vraie probabilité $p$. Or tu ne la connais jamais : tu en as une estimation $\hat{p}$, avec une erreur. Le Kelly robuste regroupe les méthodes qui intègrent cette incertitude dans le calcul de la mise.

Le problème : une erreur asymétrique

Le taux de croissance attendu de la bankroll pour une fraction $f$ est :

Cette courbe est asymétrique autour de son maximum : miser trop coûte beaucoup plus cher que miser trop peu.

Approche 1 : le shrinkage vers le marché

On combine ton estimation avec la probabilité juste du marché :

$w$ (entre 0 et 1) reflète la confiance que tu accordes à ton modèle par rapport au marché. Il devrait être estimé à partir de ton historique (calibration), pas choisi au feeling.

Approche 2 : Kelly sur la borne basse

On estime l'incertitude de $\hat{p}$ (un écart-type $\sigma_p$, issu par exemple de la calibration de ton modèle), et on applique Kelly sur une borne prudente :

Approche 3 : Kelly distributionnellement robuste

Formulation plus générale : on définit un ensemble d'incertitude $\mathcal{P}$ (toutes les probabilités plausibles) et on choisit la mise qui maximise la croissance dans le pire cas :

Pour un pari simple avec $\mathcal{P} = [p_{\min}, p_{\max}]$, le pire cas est toujours $p_{\min}$ : on retombe sur l'approche 2. La formulation devient vraiment utile pour plusieurs paris simultanés ou corrélés, où le pire cas n'est pas évident et se résout par optimisation numérique (programmation convexe).

Et l'approche bayésienne ?

Si tu remplaces $p$ par une distribution a posteriori et que tu maximises la croissance attendue, la mise optimale pour un pari simple n'utilise que la moyenne de cette distribution. La robustesse vient donc du fait que cette moyenne est elle-même tirée vers le marché (prior), ce qui revient à l'approche 1. Des travaux académiques (Baker & McHale, 2013) montrent qu'en présence d'incertitude d'estimation, réduire la mise de Kelly améliore la croissance réelle.

Le lien avec le Kelly fractionnel

Le ½ Kelly ou ¼ Kelly est une forme simple et implicite de Kelly robuste : il réduit toutes les mises du même facteur, sans modéliser l'incertitude. Les approches ci-dessus vont plus loin en réduisant davantage les paris dont l'estimation est la plus incertaine (par exemple les EV très élevées, souvent dues à des erreurs).

Recommandations pratiques

1. Méfie-toi des EV très élevées : ce sont souvent les plus fausses. Le shrinkage les ramène naturellement à la raison.
2. Calibre $w$ ou $\sigma_p$ sur ton historique réel (voir le module sur la calibration).
3. Combine : shrinkage vers le marché puis fraction de Kelly (par exemple ½).
4. Plafonne toujours la mise individuelle (par exemple 2 à 5 % de la bankroll) et l'exposition totale.